Вы совершенно правы, а я неточно выразилась. Для въезда в Чехию американцам действительно не нужна виза (а вот чехам в Америку - нужна), но после въезда
в страну по закону все равно необходимо зарегистрироваться, как и всем остальным гражданам "третьих стран" - по визе ли они приехали или без нее. Гражданами "третьих стран" тут называют неграждан Евросоюза.

Про краткосрочную визу написала по привычке - чтобы не путать с долгосрочной, по которой тоже надо регистрироваться, но там немного другая процедура.