Помощь клуба...

[tima]

Ребенку задали довольно известную задачу про ящики - 100 ящиков, 100 учеников, сначала все ящики закрыты, каждый ученик меняет "позицию" ящика - если был открыт, то закрывает и наоборот. Первый ученик начинает с первого ящика и "трогает" каждый. Второй - со второго и идет только по четным, третий - с третьего и идет через два (меняет третий, шестой и т.д.) и т.д. до 100.

Вопросы:
- какие останутся открытыми (ответ - квадраты чисел до 10, хотя объяснить ребенку толком не могу)?
- какие ящики будут "тронуты" чаще других и объяснить почему. Все знаю, объяснить результат опять-таки не могу.

Всем спасибо.

Comments

[gingema]

Нумеруешь "проходы". Каждый ящик будет тронут тогда, когда номер ящика делится на номер прохода.
1. Любой делитель имеет пару, кроме квадрата. То есть, ящик за номером 8=4*2 тронут на втором и четвертом проходе (и еще на первом и восьмом), а ящик за номером девять тронут на первом-девятом, и еще на третьем ТОЛЬКО, потому что квадрат. Значит, все ящики с "неквадратными" номерами тронут четное число раз, а с квадратными - нечетное.
2. А больше других ящики с максимальным числом множителей.

[tima.livejournal.com]

смотри мой ответ-вопрос выше - иностранке. Почему "Любой делитель имеет пару, кроме квадрата"?

и на второй вопрос слегка неверно. Нужны РАЗНЫЕ множители.

[gingema]

Потому что когда ты делишь число на делитель, ты получаешь результат, и он - парный делитель к тому, на который ты разделил.
После рассуждений о квадратах понятно, что разные. И еще - не только простые.

[tima.livejournal.com]

вот теперь я придумал как ей объяснить - спасибо!

Просто в квадратах столько же множителей, но два их них - одни и те же, а значит это один и тот же человек!

На второй вопрос все же непонятно как без ручной проверки "вычислить" эти самые "частые" номера. Можно конечно пойти от обратного - сделать 2 * 2 * 3 * 5 (это дает 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20...) то есть 60. Потом так же 2 * 2 * 3 * 7... Но неохота делать "вручную"...

[gingema]

А 60 - не есть единственный правильный ответ на второй вопрос?

[tima.livejournal.com]

нет. 60, 72 и 96 - по 12 раз

[tima.livejournal.com]

например 48 имеет больше множителей, чем 72, а 72 тронут больше раз.

[yyi.livejournal.com]

?
48 -> 10
72 -> 12

12>10 as you say.

[tima.livejournal.com]

извинясь, число сомножителей одинаково - по 5 простых чисел (2*2*2*2*3 и 2*2*2*3*3).

[yyi.livejournal.com]

this is a misleading count: it matters which of them are equal!
I would count the number of different prime divisors and their "redundancy". Then the number of different (not necessarily prime) divisors is as in my formula above (and as expected is greater for 72 than for 48).

[tima.livejournal.com]

yes, I've got that!

Thanks!